\section{拓扑熵}
设$(X,f)$为一个紧致拓扑动力系统.
\subsection{定义}
本章节中花体$\cU$, $\cV$均指代$X$或其他拓扑空间的开覆盖.
而印刷体$U$, $V$则指代开集.
赋于全体开覆盖的集合如下偏序关系.
\begin{defn}
称一个开覆盖$\cV$比$\cU$更细, 记作$\cU \preceq \cV$, 若对于每个$V \in \cV$, 存在$U \in \cU$使得$V \subset U$.
\end{defn}
记
\[
\cU \vee \cV = \setbig{ U \cap V \,:\, U \in \cU, V \in \cV }.
\]
注意到$\cU \vee \cV$也是一个开覆盖.
显然, $\cU \preceq \cU \vee \cV$.
\begin{ex}
证明$\cU \vee \cV$是$\cU$与$\cV$的上确界, 即, 对于任意开覆盖$\cW$, 有, $\cU \preceq \cW$且$\cV \preceq \cW$蕴含$\cU \vee \cV \preceq \cW$.
\end{ex}

对于连续映射$\phi \colon Y \to X$, 记
\[
\phi^{-1}\cU = \setbig{ \phi^{-1}U \,:\, U \in \cU }.
\]
这是拓扑空间$Y$的一个开覆盖.

\begin{defn}
一个开覆盖$\cU$的覆盖数, 记作$N(\cU)$, 为
\[
N(\cU) = \min \{ \# \cU' \,:\, \cU' \subset \cU, \; \text{子开覆盖} \}.
\]
\end{defn}

覆盖数有如下性质.
\begin{lem}
设$\cU, \cV$为$X$的开覆盖.
\begin{enumerate}
\item 覆盖数$N$单调, 即, 如果$\cU \preceq \cV$, 则$N(\cU) \leq N(\cV)$.
\item $N(\cU \vee \cV) \leq N(\cU) N(\cV)$.
\item 对于任意连续映射$\phi \colon Y \to X$, 有
\[
N(\phi^{-1} \cU) \leq N(\cU),
\]
且若$\phi$满射则此不等式取等.
\end{enumerate}
\end{lem}
再注意到, 二元运算$\vee$满足结合律与交换律, 故记号
\[
\bigvee_{k=0}^{n - 1} f^{-k} \cU = \cU \vee f^{-1}\cU \vee \dotsb \vee f^{-(n-1)} \cU
\]
不存在歧义.
还可以注意到, $\vee$相对于拉回$f^{-1}$满足分配律, 即
\[
f^{-1}(\cU \vee \cV) = (f^{-1}\cU) \vee (f^{-1} \cV).
\]
\begin{lem}
函数
\[
\begin{array}{ccc}
\N^* & \mapsto & \R\\
n & \mapsto & \log N(\bigvee_{k=0}^{n - 1} f^{-k} \cU)
\end{array}
\]
是次加性的.
\end{lem}
这里, 一个实数序列$(a_n)_{n \geq 1}$次加性的意思是对任意$n,m \geq 1$ 有$a_{n+m} \leq a_n + a_m$.
\begin{lem}[Fekete引理]
若实数序列$(a_n)_{n \geq 1}$是次加性的, 则当$n \to +\infty$时,序列$\frac{a_n}{n}$收敛且极限为$\inf_{n \geq 1} \frac{a_n}{n}$.
\end{lem}
由此我们可以定义拓扑熵的概念.
\begin{defn}
一个拓扑动力系统$(X,f)$相对于一个开覆盖$\cU$的\emph{拓扑熵}是
\[
\htop(f, \cU) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \log N\bigl( \bigvee_{k=0}^{n - 1} f^{-k} \cU \bigr).
\]
拓扑动力系统$(X,f)$的\emph{拓扑熵}是
\[
\htop(f) = \sup_{\cU : \text{开覆盖}} \htop(f, \cU).
\]
\end{defn}

\subsection{拓扑熵的性质}
\begin{lem}
若$\cU \preceq \cV$, 则$\htop(f,\cU) \leq \htop(f,\cV)$.
\end{lem}

\begin{prop}
设$(X,f)$与$(Y,g)$为两个紧致拓扑动力系统.
\begin{enumerate}
\item 若$(X,f)$是$(Y,g)$的扩展（即, 存在$(X,f)$到$(Y,g)$的满射的拓扑半共轭）, 则$\htop(f) \geq \htop(g)$.
\item 若$(X,f)$与$(Y,g)$拓扑共轭, 则$\htop(f) = \htop(g)$.
\item 若$(X,f)$是$(Y,g)$的子系统, 则$\htop(f) \leq \htop(g)$.
\end{enumerate}
特别地, 拓扑熵是一个拓扑共轭不变量.
\end{prop}

下面我们假设$(X,f)$是度量空间$(X,d)$上的拓扑动力系统.
利用度量我们可以构造一类特殊的开覆盖.
对于$\epsilon > 0$, 记$\cO_\epsilon$为$X$上全体半径为$\epsilon$的开球的集合.
这显然是一个开覆盖,
且满足如下单调性：如果$\epsilon < \epsilon'$, 则$\cO_{\epsilon'} \preceq \cO_{\epsilon}$.

\begin{prop}\label{pr:htopOeps}
若$(X,f)$是紧致度量空间上的拓扑动力系统,
则
\[
\htop(f) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \htop(f, \cO_\epsilon).
\]
\end{prop}

\begin{lem}[Lebesgue覆盖引理]
对于任意开覆盖$\cU$都存在$\epsilon> 0$使得$\cU \preceq \cO_\epsilon$.
\end{lem}
引理中的常数$\epsilon$被称为$\cU$的Lebesgue数.
\begin{proof}[命题\ref{pr:htopOeps}的证明]

\end{proof}

对于开覆盖$\cU$, 记
\[
\diam(\cU) = \sup_{U \in \cU} \diam(U)
\]
为其元素的直径的上确界.
上面命题的更一般叙述如下.
\begin{prop}
设$(X,f)$是紧致度量空间上的拓扑动力系统, $(\cU_n)_{n \in \N}$是一列开覆盖.
假设$\lim_{n \to +\infty} \diam(\cU_n) = 0$,
则
\[
\htop(f) = \lim_{n \to +\infty} \htop(f, \cU_n).
\]
\end{prop}

\begin{prop}
设$(X,f)$是紧致度量空间上的拓扑动力系统, $\cU$是一个开覆盖.
\begin{enumerate}
\item 对任意整数$k \geq 1$, 有$\htop(f, \cU) = \htop(f, \bigvee_{i=0}^{k} f^{-i}\cU)$.
若$f$可逆, 则更有$\htop(f, \cU) = \htop(f, \bigvee_{i=-k}^{k} f^{-i}\cU)$.
\item 对所有$k \in \N$, 有$\htop(f^k) = k \htop(f)$.
若$f$可逆, 则更有对所有$k\in \Z$, $\htop(f^k)= \abs{k} \htop(f)$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{defn}
一个开覆盖$\cU$称为$(X,f)$的\emph{生成子}, 如果$\lim_{n \to +\infty} \diam \bigl( \bigvee_{i=0}^{n} f^{-i} \cU \bigr) = 0$.
若$f$可逆, 则只要求$\lim_{n \to +\infty} \diam \bigl( \bigvee_{i=-n}^{n} f^{-i} \cU \bigr) = 0$.
\end{defn}

\begin{prop}
对于一个生成子$\cU$, 有$\htop(f) = \htop(f,\cU)$.
\end{prop}
\subsection{由生成集与分离集给出的等价定义}
固定度量空间上的$(X,d)$上的拓扑动力系统$(X,f)$.
\begin{defn}
令$\epsilon> 0$为一个正实数, $n \geq 1$为一个正整数.
称一个子集$A \subset X$为\emph{$\epsilon$-生成集}, 如果
\[
\forall x \in X,\; \exists a \in A,\quad d(x,a) < \epsilon.
\]
称其为\emph{$(n,\epsilon)$-生成集}, 如果
\[
\forall x \in X,\; \exists a \in A,\; \forall i \in \{0,\dotsc, n - 1\},\quad d(f^i(x),f^i(a)) < \epsilon.
\]
称一个子集$A \subset X$为\emph{$\epsilon$-分离集}, 如果
\[
\forall x \neq y \in A,\quad d(x,y) \geq \epsilon.
\]
称其为\emph{$(n,\epsilon)$-分离集}, 如果
\[
\forall x \neq y \in A,\; \exists i \in \{0,\dotsc, n - 1\},\quad d(f^i(x),f^i(y)) \geq \epsilon.
\]
\end{defn}

显然$(1,\epsilon)$-生成就是$\epsilon$-生成, $(1, \epsilon)$-分离就是$\epsilon$-分离.
对与更大的$n$, 我们还有如下关系.
对$x,y \in X$, 定义
\[
d^f_n(x, y) = \max_{0 \leq i < n} d( f^i(x), f^i(y) ).
\]
可以验证$d^f_n$是一个度量.
一个子集$A$是一个$(n,\epsilon)$-生成集当且仅当它在$(X,d^f_n)$中是$\epsilon$-生成集.
一个子集$A$是一个$(n,\epsilon)$-分离集当且仅当它在$(X,d^f_n)$中是$\epsilon$-分离集.

我们记
\[
R(n,\epsilon) = \inf_{A \,:\, (n,\epsilon)\text{-生成集}} \#A,
\]
\[
S(n,\epsilon) = \sup_{A \,:\, (n,\epsilon)\text{-分离集}} \#A.
\]
\begin{thm}
紧致度量空间上的拓扑动力系统$(X,f)$满足
\[
\htop(f) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\log R(n,\epsilon)
\]
与
\[
\htop(f) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\log S(n,\epsilon).
\]
此外, 还可以把$\lim_{\epsilon \to 0^+}$换成$\sup_{\epsilon > 0}$.
\end{thm}

\begin{lem}
对任意$\epsilon > 0$. 有
\[
S(1, 2\epsilon) \leq R(1,\epsilon) \leq S(1,\epsilon).
\]
从而有
\[
S(n, 2\epsilon) \leq R(n,\epsilon) \leq S(n,\epsilon)
\]
对于任意$n \geq 1$.
\end{lem}


\subsection{拓扑熵的计算}
\begin{exa}
假设$f$是一个紧致度量空间$(X,d)$的保距映射. 则$\htop(f)=0$.
\end{exa}

\begin{defn}
度量空间上的连续自映射$f \colon X \to X$称为\emph{可扩映射}, 如果存在$\epsilon > 0$使得对任意$x \neq y \in X$都存在$n \in \N$满足$d(f^n(x), f^n(y)) > \eps$.
满足此性质的$\epsilon$称作$f$的\emph{可扩常数}.
若$f$可逆, 则可以允许$n$在$\Z$里找.
\end{defn}

\begin{prop}
对于可扩映射$f \colon X \to X$, 有$\htop(f) = \htop(f, \cO_\epsilon)$.
其中$\epsilon$是$f$的一个可扩常数.
\end{prop}

\begin{proof}
首先证明$\cO_\epsilon$是一个生成子.
\end{proof}

\begin{exa}
对于$m\geq 2$, 符号系统$(\Omega_m,\sigma_m)$的拓扑熵为
\[
\htop(\sigma_m) = \log m.
\]
\end{exa}


\begin{exa}
对于$A \in \Mat_{m \times m}(\{0,1\})$, 有限型子转移$(\Omega_A,\sigma_A)$的拓扑熵为
\[
\htop(\sigma_A) = \log \specrad(A),
\]
其中$\specrad(A)$是矩阵$A$的谱半径：
\[
\specrad(A) = \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \log \norm{A^n}.
\]
\end{exa}


\begin{exa}
一个扩张圆周映射$f \colon \T \to \T$的拓扑熵为$\htop(f) = \log \abs{\deg(f)}$.
\end{exa}

\begin{thm}[Misiurewicz-Przytycki定理]
一个可定向紧致连通光滑流形上的$C^1$自映射$f \colon X \to X$的拓扑熵一定满足$\htop(f) \geq \log \abs{\deg(f)}$.
\end{thm}
回顾一下可定向紧致流形上$C^1$自映射$f \colon X \to X$的\emph{度}$\deg(f)$的概念.
一个点$x \in X$称为\emph{正则点}, 如果该点上切映射$D_xf$可逆.
一个点$y \in X$称为\emph{正则值}, 如果该点的所有原像均为正则点.
令$y \in X$为一个正则值, 可以证明$f^{-1}(\{y\})$有限且
\[
\#\set{ x \in f^{-1}(\{y\}) \,:\, D_xf \text{ 保定向} }
- \#\set{ x \in f^{-1}(\{y\}) \,:\, D_xf \text{ 不保定向} }
\]
一定等于
\[
\frac{\int_X f^*\omega}{\int_X \omega},
\]
其中$\omega$是$X$上的一个正向的体积形式.
这个与正则值$y$的选取无关也与体积形式$\omega$选取无关的值定义为$\deg(f)$.

\begin{ex}
设$X = \T$, 证明这个度与之前定义的圆周映射的度是同一个概念.
\end{ex}

